Сергей Алексеевич Чаплыгин родился в городе Раненбург Рязанской губернии 24 марта (5 апреля по новому стилю) 1869 года в семье приказчика Алексея Тимофеевича и его супруги Анны Петровны. Ещё в детском возрасте мальчик лишился отца – тот умер от холеры. Мать вышла замуж второй раз и уехала с ребёнком к новому мужу, мещанину Давыдову, в Воронеж.

В 1877 году Сергей поступает в Воронежскую мужскую гимназию, где довольно быстро обнаруживает свои незаурядные таланты практически во всех областях знаний – от древних языков до математики, к которой у мальчика проявился особенный интерес. В четырнадцатилетнем возрасте Чаплыгин впервые пробует себя в роли преподавателя, став репетитором для помещичьих детей.

После блестящего окончания гимназии в 1886 году Сергей Алексеевич поступает на физико-математический факультет Московского университета. В то время в университете трудился блестящий ученый, «отец русской авиации», Николай Егорович Жуковский. По его ходатайству Чаплыгин после окончания обучения в 1890 году был оставлен в вузе – для подготовки к профессорской деятельности. Тогда же Сергей Алексеевич увлекся механикой. Его первые научные работы были посвящены проблеме движения твердого тела в жидкости. В них он поднял некоторые вопросы, которые прежде никто не рассматривал. Это привело Чаплыгина к фундаментальным открытиям в области построения общих уравнений механики, за что он был удостоен в 1899 году почетной награды – большой золотой медали Академии наук.

С 1893 года Чаплыгин начинает преподавать профессионально. В качестве приват-доцента он читает курс прикладной математики в Московском университете, и одновременно с этим – курс физики – в Московском Екатерининском институте. С 1895 по 1901 год он преподаёт математику и теоретическую механику в Московском межевом институте, с 1896 по 1910 – механику в Императорском Московском техническом училище. В 1901 – 1908 годах Сергей Алексеевич преподавал также в Московском инженерном училище.

Преподавательскую деятельность Чаплыгин совмещал с административной работой. С 1905 по 1918 он был директором Московских высших женских курсов, а с 1919 года – ректором 2-го Московского государственного университета, в который были преобразованы курсы. Стал широко известен случай, когда смелый директор начал строительство зданий для курсов на улице Малой Царицынской (сейчас – Малой Пироговской), невзирая на то, что государственные деньги были выделены не в полном объёме. Сергей Алексеевич просто заложил полагавшийся учебному заведению земельный участок.

Университетское преподавание Чаплыгин оставил в 1911 году по политическим соображениям. Именно тогда вышли скандальные циркуляры министра просвещения Л.А. Кассо «О надзоре за учащимися учебных заведений», «О временном недопущении публичных и частных студенческих заведений» и ряд других. Эти документы запрещали студенческие собрания, уничтожали университетскую автономию и возлагали на администрацию университета полицейские функции. В ответ на это группа из 130 университетских преподавателей, среди которых были такие звёзды мировой величины, как В. И. Вернадский, Д. М. Петрушевский, В.П. Сербский, К.А. Тимирязев, П.Н. Лебедев, подали в отставку. В их числе оказался и С.А. Чаплыгин

После Революции Сергей Алексеевич сосредотачивается на научной деятельности, которую он совмещает с преподаванием. С 1918 года он работает в Комиссии особых артиллерийских опытов при Главном артиллерийском управлении, а также в Научно-экспериментальном институте путей сообщения. В 1918 – 1925 годах Сергей Алексеевич занимает должность профессора Московского лесотехнического института.

Однако настоящим делом жизни Чаплыгина стал Центральный аэрогидродинамический институт (ЦАГИ), к созданию которого в 1918 году его привлёк всё тот же Н.Е. Жуковский. В 1921 году, после смерти Жуковского, Сергей Алексеевич становится председателем коллегии, а в 1928 году – директором-начальником ЦАГИ. С 1931 года, покинув пост директора по состоянию здоровья и став научным руководителем института, Чаплыгин работает над созданием крупнейших аэродинамических лабораторий ЦАГИ. Там же, в ЦАГИ, он ведёт научно-теоретический семинар, который взрастил весь цвет советской механической науки. В их числе будущий Президент Академии наук СССР Мстислав Келдыш и основатель Новосибирского Академгородка Михаил Лаврентьев.

Трудно переоценить вклад Сергея Алексеевича Чаплыгина в мировую науку.

Помимо уже упомянутых работ в области теоретической механики Сергей Алексеевич работал в теории смазки. В 1906 году он опубликовал совместную с Н.Е. Жуковским работу «О трении смазочного слоя между шипом и подшипником», которая имела огромное практическое значение, вызвав шквал теоретических и экспериментальных исследований в этой области.

Фамилия Чаплыгин известна и математикам. В 1919 году он предложил метод приближённого интегрирования дифференциальных уравнений и доказал теорему о неравенствах, которой было присвоено его имя. Эти исследования считаются одними из крупнейших достижений математической мысли.

В 1905 – 1907 годах Сергеем Алексеевичем написаны университетский курс «Механика системы», а также сокращённый курс «Пропедевтическая механика» - для технических вузов и естественных факультетов университетов.

Но в качестве одного из столпов мировой науки Чаплыгин стал знаменит, прежде всего, благодаря созданной им новой отрасли механики, газовой динамики. В своей докторской работе «О газовых струях», защищённой в 1903 году в Московском университете, учёный надолго опередил время – ведь в век тихоходной авиации, которая делала первые шаги, он предложил методы исследования струйных движений газа при любых скоростях, приближающихся к скорости звука. Лишь через 30 лет знания, полученные Чаплыгиным, смогли быть использованы в авиастроении!

Но тандем Жуковского и Чаплыгина внёс свою лепту и в развитие современной им авиации – именно они помогли конструкторам в решении задачи о силах, действующих на обтекаемое крыло самолёта. Николай Егорович ещё в 1906 году доказал теорему, в которой содержалась формула подъёмной силы, однако через четыре года учитель и ученик независимо друг от друга дополнили теорему Жуковского, сформулировав постулат Жуковского – Чаплыгина, который дал полное решение задачи о силах, воздействующих на крыло. Это стало настоящим прорывом – именно с тех пор самолёты больше не строились «на глазок», ведь у авиаконструкторов был точный инструментарий для проектирования крыла. Это не только повлияло на скорость крылатых машин, но и на их безопасность.

В дальнейшем Сергей Алексеевич продолжил работу в этой области. В 1913 году им был представлен доклад «Вихревая теория подъёмной силы крыла», который дал новые знания для конструирования крыльев, а в 1914 вышел фундаментальный труд учёного «Теория решётчатого крыла», где была заложена база для расчётов винтов, турбин и других лопаточных машин – от домашних вентиляторов до турбин современных самолётов. Решётчатые крылья применяются и в строительстве скоростных судов, и в создании космических кораблей.

В 1922 году Чаплыгин публикует очередное сочинение, «К общей теории крыла моноплана», создав тем самым теоретическую базу для дальнейшей эволюции современной ему авиации. Уже к началу 30-х годов появятся отечественные монопланы, которые составят конкуренцию мировым аналогам.

Сергей Алексеевич много и активно помогал авиаконструкторам. Он работал и с таким именитым создателем бомбардировщиков и магистральных авиалайнеров, как Андрей Николаевич Туполев, и с конструктором знаменитого истребителя И-16 и «ночного бомбардировщика» У-2 Николаем Николаевичем Поликарповым.

За свои многочисленные заслуги перед наукой Сергей Алексеевич Чаплыгин в декабре 1924 года избирается членом-корреспондентом Российской Академии наук, а в январе 1929 года – академиком Академии наук СССР.

1 февраля 1941 года Указом Президиума Верховного Совета СССР академику Чаплыгину в связи с пятидесятилетием его научной деятельности было присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и Золотой медали «Серп и Молот. Сергей Алексеевич стал первым Героем Социалистического Труда из отечественных учёных.

С началом Великой Отечественной войны ЦАГИ эвакуируют в два тыловых города – Казань и Новосибирск. Сергей Алексеевич уезжает вместе с образованным филиалом №2 института в столицу Сибири. Там он работает целый год, успев заложить основы сибирской авиационной науки – уже после войны на базе филиала ЦАГИ будет создан Сибирский научно-исследовательский институт авиации, получивший имя Чаплыгина.

Умер Сергей Алексеевич 8 октября 1942 года от кровоизлияния в мозг. Его последними записанными словами были: «Пока есть силы надо бороться…, надо работать».

Именем Чаплыгина назван его родной город Раненбург (сейчас входит в Липецкую область), улицы в Москве и подмосковных Жуковском и Железнодорожном, Новосибирске, Туле, Кривом Роге, Алма-Ате. В Москве и Новосибирске (на территории СибНИА) установлены бюсты учёного, а на территории ЦАГИ – памятник.

В Москве работает мемориальный музей-квартира С.А. Чаплыгина, а могила учёного, также расположенная на территории СибНИА в Новосибирске, является памятником федерального значения.

В 1942 году Академия наук СССР учредила премию имени С.А. Чаплыгина «за лучшую оригинальную работу по теоретическим исследованиям в области механики». А ещё имя Чаплыгина носит один из лунных кратеров.