Он родился и вырос в Москве. После окончания школы в 1941 году практически с выпускного вечера добровольно ушел на фронт. Закончив в январе 1942 года ускоренный курс Ленинградского артиллерийско-технического училища, воевал на Карельском и 3-м Белорусском фронтах.

В 1952 году Александр Александрович окончил артиллерийскую академию им. Ф.Э. Дзержинского и был направлен в военное представительство при конструкторском бюро С.П. Королева, а затем в 4-е управление Главного артиллерийского управления. Принимал активное участие в отработке и летных испытаниях ракеты Р-7, был секретарем государственных комиссий по запуску в космос первого искусственного спутника Земли и первого человека Ю.А. Гагарина.

Проходя службу в аппарате заместителя командующего артиллерией, начальника реактивного вооружения Главного управления ракетного вооружения, А.А. Максимов возглавлял отдел ракет-носителей, а с 1964 года - Центр по руководству разработкой и производством средств космического вооружения.

При организации в 1970 году главного управления космических средств (ГУКОС) А.А. Максимов назначается заместителем, первым заместителем и в 1979 году - начальником ГУКОС. Благодаря кропотливой организаторской работе Александра Александровича в короткие сроки удалось создать боеспособный орган управления космическими частями страны.

На должность начальника Главного управления космических средств Александр Александрович попал не случайно. Все, кто был близко с ним знаком, открывали для себя простую истину - он был гением военного космоса.

Работа рядом с ним для каждого военного специалиста была большой практической школой. Он передавал подчиненным свой богатейший опыт, поддерживал людей в трудные моменты, радовался вместе со всеми, когда были успехи в космосе.

Наша первая встреча с ним состоялась при трагических обстоятельствах, когда генерал-полковник Максимов в составе Государственной комиссии прибыл на полигон в Плесецке для расследования причин катастрофы на стартовом комплексе.

К сожалению, комиссии не удалось учесть всех обстоятельств дела. А те, кто мог помочь воссоздать объективную причину произошедшей трагедии, погибли в огне. В итоге был вынесен ошибочный, как это выяснилось только через двадцать лет, вердикт о виновности боевого расчета полигона. На многих офицеров были наложены суровые взыскания. Мне, учитывая прежнее прохождение службы и малый срок пребывания в должности начальника полигона, был объявлен выговор от ЦК КПСС и Совмина. Но, несмотря на это, вскоре после катастрофы А.А. Максимов предложил мне поехать на Байконур начальником полигона.
     - Не могу я сейчас уехать отсюда. Люди тут меня грудью защитили, а я их брошу, - объяснял я Александру Александровичу.
     - Да что ты упрямишься, настаивал он. - Сейчас Устинову позвоню, сразу будешь назначен начальником полигона и очередное звание получишь.

Тогда мне удалось убедить Александра Александровича этого не делать. Но через четыре года он предложил мне возглавить штаб главного управления космических средств Министерства обороны. С тех пор мы служили с ним бок о бок, решая очень необычные задачи.

Александр Александрович руководил космическими частями напористо, с разумным риском, выдвигал смелые мысли и предложения. Он был первым командующим космических соединений и частей, выделившим организацию из состава РВСН в 1980 году. К этому разделению Максимовым и его единомышленниками было приложено немало сил и энергии. Они видели в этом главное направление для повышения боевой готовности космических частей и их дальнейшего развития.

Как профессионал, он видел перспективные возможности служения космонавтики своему Отечеству. Он не хотел войны, тем более войны в космосе и понимал, что космическая техника в умелых руках - очень грозное боевое оружие.

Особое уважение было у Максимова к знаменитой космической труженице 'Семерке', как все называли ракету космического назначения Р7. К ее созданию Александр Александрович имел самое непосредственное отношение. Он входил в состав государственной комиссии, которая принимала решение на первый космический пуск, утверждала план-график работ по испытаниям, полетные задания, стартовую команду, результаты испытаний на технических и стартовых позициях, координировала работу всех организаций, причастных к первому запуску. В состав этой комиссии входили видные ученые, руководители организаций, конструкторы. Полковник-инженер А.А. Максимов был секретарем Госкомиссии.

'Пройдут годы, - говорил как-то после очередного пуска Александр Александрович, - навсегда отгремят старты этой нашей космической труженицы. На смену придут более современные ракеты космического назначения. Но те, кто видел взлеты 'Семерки', никогда не забудут той изящности, с которой она идет в небеса'.

Убеленный сединой фронтовик, строгий космический труженик Александр Александрович Максимов учил своих подчиненных трудиться не за страх, а за совесть, любить свое дело, боготворить эту удивительно умную космическую технику.
Максимова можно сравнить с ракетой, унесшейся в космическую даль.